Question

已知f（x），g（x）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，f（0）=1，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y均有f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y），求證：
（1）對(duì)任意x∈R都有f²（x）+g²（x）=1；
（2）f（x）是偶函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）在恒等式f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y）中，令y=x，即可證得結(jié)論；
（2）在恒等式f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y）中，令x=y=0，可求得g（0），再令x=0，即可證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵任意實(shí)數(shù)x，y均有f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y），
∴令y=x，則有f（0）=f²（x）+g²（x），
∵f（0）=1，
∴任意x∈R都有f²（x）+g²（x）=1．
（2））∵任意實(shí)數(shù)x，y均有f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y），
∴令x=y=0，則有f（0）=f²（0）+g²（0），
∵f（0）=1，
∴g（0）=0，
再令x=0，則有f（-y）=f（0）f（y）+g（0）g（y），
∴f（-y）=f（y），
令y=x，則有f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性的判斷．抽象函數(shù)給定恒等式時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)所要求的表達(dá)式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)馁x值，證明函數(shù)的奇偶性一般運(yùn)用奇偶函數(shù)的定義，但要特別注意先要求解定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．屬于基礎(chǔ)題．