Question

6．在各項為正實數(shù)的等差數(shù)列{a_n}中，其前2016項的和S₂₀₁₆=1008，則$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{1}{{{a_{1016}}}}$的最小值為（　�。�

• A． 6
• B． 4
• C． $\frac{1}{84}$
• D． $\frac{1}{251}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意和等差數(shù)列的前n項和公式求出a₁+a₂₀₁₆=1，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a₁₀₀₁+a₁₀₁₆=1，利用“1”的代換和基本不等式求出$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{1}{{a}_{1016}}$的最小值．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}中，S₂₀₁₆=1008，
∴$\frac{2016（{a}_{1}+{a}_{2016}）}{2}=1008$，
則a₁+a₂₀₁₆=1，即a₁₀₀₁+a₁₀₁₆=1，
∵等差數(shù)列{a_n}的各項為正實數(shù)，
∴$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{1}{{a}_{1016}}$=$\frac{{a}_{1001}+{a}_{1016}}{{a}_{1001}}+\frac{{a}_{1001}+{a}_{1016}}{{a}_{1016}}$
=2+$\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}+\frac{{a}_{1001}}{{a}_{1016}}$≥2+$2\sqrt{\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}•\frac{{a}_{1001}}{{a}_{1016}}}$=4，
當且僅當時$\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}=\frac{{a}_{1001}}{{a}_{1016}}$取等號，
∴$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{1}{{a}_{1016}}$的最小值是4，
故選B．

點評 本題考查等差數(shù)列的前n項和公式、性質(zhì)的靈活應用，“1”的代換以及基本不等式求最值的應用，考查整體思想、轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．