Question

11．已知函數(shù)f（x）=xlnx-a，g（x）=（a+1）x，a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)
（Ⅰ）若曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線與直線g（x）垂直，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設G（x）=f（x）+g（x），若G（x）＞0對任意x∈（1，+∞）恒成立，求整數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，再由兩直線垂直的條件可得2（a+1）=-1，解方程可得a；
（Ⅱ）運用分離參數(shù)可得當x＞1時，a＞$\frac{xlnx+x}{1-x}$恒成立，令H（x）=$\frac{xlnx+x}{1-x}$，求出導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，極值和最值，結(jié)合零點存在定理和不等式的性質(zhì)，即可得到a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=xlnx-a的導數(shù)為f′（x）=lnx+1，
即有f（x）在點（e，f（e））處的切線斜率為k=lne+1=2，
由切線與直線g（x）垂直，則2（a+1）=-1，
解得a=-$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）設G（x）=f（x）+g（x）=xlnx+（a+1）x-a＞0，即為
xlnx+x+（x-1）a＞0，
當x＞1時，a＞$\frac{xlnx+x}{1-x}$恒成立，
H（x）=$\frac{xlnx+x}{1-x}$，H′（x）=$\frac{lnx-x+2}{（1-x）^{2}}$，
令μ（x）=lnx-x+2，x＞1時，μ′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，
μ（x）在（1，+∞）遞減，μ（3）=ln3-1＞0，μ（4）=ln4-2＜0，
存在x₀∈（3，4），使得μ（x₀）=0，
當1＜x＜x₀時，μ（x）＞0，H′（x）＞0，H（x）遞增；
當x＞x₀時，μ（x）＜0，H′（x）＜0，H（x）遞減．
H（x）_max=H（x₀）=$\frac{{x}_{0}ln{x}_{0}+{x}_{0}}{1-{x}_{0}}$，又μ（x₀）=0，即lnx₀=x₀-2，
即有H（x）_max=$\frac{{x}_{0}（{x}_{0}-2）+{x}_{0}}{1-{x}_{0}}$=-x₀，
由x₀∈（3，4），即有-x₀∈（-4，-3），
由a＞-x₀，a∈Z，
則a的最小值為-3．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查兩直線垂直的條件和零點存在定理和函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．