Question

4．已知⊙O的圓心為原點，與直線3x+4y-15=0相切，⊙M的方程為（x-3）²+（y-4）²=1，過⊙M上任一點P作⊙O的切線PA，切點為A，若直線PA與⊙M的另一交點為Q，當弦PQ最大時，則PA的直線方程為x=3或7x-24y+75=0．

Answer 1

分析 利用⊙O的圓心為原點，與直線3x+4y-15=0相切，求出圓的半徑，從而可得⊙O的方程；當直線PA過圓M的圓心（3，4）時，弦PQ最大，從而可設直線PA的方程，利用PA與圓O相切，可得圓心（0，0）到直線PA的距離為3，進而可求直線PA的方程．

解答 解：∵⊙O的圓心為原點，與直線3x+4y-15=0相切
∴圓心到直線的距離等于半徑r=3
∴⊙O的方程為x²+y²=9
由題可知當直線PA過圓M的圓心（3，4）時，弦PQ最大
直線PA的斜率不存在時，直線x=3，滿足題意；
直線PA的斜率存在時，設直線PA的方程為：y-4=k（x-3）
又因為PA與圓O相切，所以圓心（0，0）到直線PA的距離為3
即$\frac{|-3k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，可得k=$\frac{7}{24}$，
∴直線PA的方程為7x-24y+75=0
綜上，直線PA的方程為x=3或7x-24y+75=0

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑是解題的關鍵．