Question

3．如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，側(cè)面SAB為等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．
（1）求證：AB⊥DS；
（2）求平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點O，連結(jié)OD，OS，推導出AB⊥OS，AB⊥OD，由此能證明AB⊥SD．
（2）推導出OS⊥平面ABCD，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）取AB的中點O，連結(jié)OD，OS，
∵△SAB是正三角形，∴AB⊥OS，
∵四邊形ABCD是直角梯形，DC=$\frac{1}{2}AB$，AB∥CD，
∴四邊形OBCD是矩形，∴AB⊥OD，
又OS∩OD=O，∴AB⊥平面SOD，
∴AB⊥SD．
解：（2）∵平面ABCD⊥平面SAB，AB⊥OS，
平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴OS⊥平面ABCD，
如圖，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標系，
則A（0，6，0），B（0，-6，0），D（6，0，0），C（6，-6，0），
S（0，0，6$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{DS}$=（-6，0，6$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AD}$=（6，-6，0），
設(shè)平面SAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DS}=-6x+6\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=6x-6y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$，
同理，得平面SBC的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{7}×2}=\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．