Question

【題目】已知， .

（1）當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，分別比較f(n)與g(n)的大小（直接給出結(jié)論）；

（2）由（1）猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＞g(1)；當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＞g(2)；當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＞g(3)；

（2）猜想： ，證明見(jiàn)結(jié)論.

【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)>g(1)；當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)>g(2)；當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)>g(3)．

(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N*)，即1＋>2(－1)(n∈N*)．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)>g(1)．

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即1＋>2(－1)．

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝1＋＋>2(－1)＋＝2＋－2，而g(k＋1)＝2(－1)＝2－2，

下面轉(zhuǎn)化為證明： .

只要證：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2，

需證：(2k＋3)2>4(k＋2)(k＋1)，即證：4k2＋12k＋9>4k2＋12k＋8，此式顯然成立．

所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立．綜上可知：對(duì)n∈N*，猜想都成立，

即1＋ (n∈N*)成立．