Question

過點M（2，-2p）作拋物線x²=2py（p＞0）的兩條切線，切點分別為A，B，若線段AB的中點縱坐標為6，則p的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：設過點M的拋物線的切線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用方程的判別式等于0，再利用韋達定理，
結合線段AB中點的縱坐標為6，可求p的值．
解答：解：設過點M的拋物線的切線方程為：y+2p=k（x-2）與拋物線的方程x²=2py聯(lián)立
消y得：x²-2pkx+4pk+4p²=0 ①．
根據(jù)題意可得，此方程的判別式等于0，∴pk²-4k-4p=0．
設切線的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂=，
此時，方程①有唯一解為 x==pk，∴y===2（k+p）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則12=y₁+y₂=2（k₁+k₂）+4p=+4p，
∴p²-3p+2=0，解得 p=1或p=2，
故答案為 1或2．
點評：本題考查拋物線的切線，考查韋達定理的運用，考查中點坐標公式，屬于中檔題．