Question

（06年江西卷理）（14分）

已知數(shù)列｛a_n｝滿足：a₁＝，且a_n＝

（1）求數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a₁?a₂?……a_n<2?n！

Answer 1

解析：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為

1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得a_n＝（n³1）…………1°

（2）證：據(jù)1°得，a₁?a₂?…a_n＝

為證a₁?a₂?……a_n<2?n！

只要證nÎN^*時(shí)有>…………2°

顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明，對每個(gè)nÎN^*，有

³1－（）…………3°

用數(shù)學(xué)歸納法證明3°式：

（i）                     n＝1時(shí)，3°式顯然成立，

（ii）                   設(shè)n＝k時(shí)，3°式成立，

即³1－（）

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

³〔1－（）〕?（）

＝1－（）－＋（）

³1－（＋）即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，3°式也成立。

故對一切nÎN^*，3°式都成立。

利用3°得，³1－（）＝1－

＝1－>

故2°式成立，從而結(jié)論成立。