Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．令g₁（x）=g（x），${g_{n+1}}=g（{g_n}（x）），n∈{N^+}$，請(qǐng)猜想出g_n（x）的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 由題意猜想g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$，利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟進(jìn)行證明．

解答 解：由題設(shè)得，g（x）=$\frac{x}{1+x}$（x≥0）．由已知得，g₁（x）=$\frac{x}{1+x}$，
g₂（x）=g（g₁（x））=$\frac{\frac{x}{1+x}}{1+\frac{x}{1+x}}$=$\frac{x}{1+2x}$，g₃（x）=$\frac{x}{1+3x}$，…，可得g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時(shí)，g₁（x）=$\frac{x}{1+x}$，結(jié)論成立．                           
②假設(shè)n=k（k≥2且k∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，
即g_k（x）=$\frac{x}{1+kx}$．那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
g_k+1（x）=g（g_k（x））=$\frac{gk（x）}{1+gk（x）}$=$\frac{\frac{x}{1+kx}}{1+\frac{x}{1+kx}}$=$\frac{x}{1+（k+1）x}$，
即結(jié)論成立．                                                  
由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N^*成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查猜想與證明，正確理解數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟是關(guān)鍵．