Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足：a₁=1，S_n-2S_n-1=1，n∈N^*且n≥2．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若c_n=

n

an

（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）由（1）得an=2n-1，所以cn=n×(

1

2

)n-1，利用錯誤相減法對數(shù)列求和即得結(jié)論．

解答： 解：（1）當n≥2時，由

Sn-2Sn-1=1 Sn+1-2Sn=1

兩式相減得a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
所以

a3

a2

=

a4

a3

=

a5

a4

=…=2（4分）
又當n=2時，S₂-2S₁=1，所以S2=1+2=3，a2=2，

a2

a1

=2（6分）
所以

an+1

an

=2(n∈N*)，所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．（7分）
（2）由（1）得an=2n-1，所以cn=n×(

1

2

)n-1，（8分）
令Tn=1×(

1

2

)0+2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n-1)×(

1

2

)n-2+n×(

1

2

)n-1，則

1

2

Tn=1×(

1

2

)1+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n-1)×(

1

2

)n-1+n×(

1

2

)n
兩式相減得，

1

2

Tn=(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n×(

1

2

)n=2-(n+2)×(

1

2

)n
所以Tn=4-(n+2)×(

1

2

)n-1（14分）

點評：本題主要考查利用定義證明數(shù)列是等比數(shù)列的方法及錯誤相減法求數(shù)列的和，考查學生的運算能力，屬難題．