【題目】如圖,圓O為△ABC的外接圓,過點C作圓O的切線交AB的延長線于點D,∠ADC的平分線交AC于點E,∠ACB的平分線交AD于點H.

(1)求證:CH⊥DE;
(2)若AE=2CE.證明:DC=2DB.

【答案】
(1)證明:如圖,

設DE與BC交于點F,則∠CFE=∠CDF+∠DCF,∠DEC=∠EDA+∠DAE,

因為DC為圓O的切線,

所以∠DCF=∠DAE,

又因DE為∠ADC的平分線,

所以∠CDF=∠EDA,

所以∠DEC=∠CFE

即∠CEF=∠CFE,所以△CFE為等腰三角形,

又因CH為∠ACB的平分線,所以CH⊥EF,

即CH⊥DE


(2)證明:因DC為圓O的切線,

所以DC2=DBDA,

又因DE為∠ADC的平分線,AE=2CE,

所以 ,所以 =2,

即DC=2DB


【解析】(1)證明∠CEF=∠CFE,所以△CFE為等腰三角形,又因CH為∠ACB的平分線,所以CH⊥EF,即可證明CH⊥DE;(2)證明DC2=DBDA,因DE為∠ADC的平分線,AE=2CE.即可證明:DC=2DB.

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