Question

設函數(shù)f（x）=

1

2

-

1

2x+1

（1）證明：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據函數(shù)的奇偶性的定義即可證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）利用函數(shù)單調性的定義即可證明函數(shù)f（x）在R上時增函數(shù)；
（3）利用函數(shù)的單調性即可求函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
∴f（-x）+f（x）=

1

2

-

1

2x+1

+

1

2

-

1

2-x+1

=1-

1

2x+1

-

2x

1+2x

=1-1=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）在定義域上是奇函數(shù)．
（2）設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

2

-

1

2x1+1

-（

1

2

-

1

2x2+1

）
=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂
則2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
即函數(shù)f（x）在R上是單調遞增函數(shù)．
（3）由（2）知函數(shù)f（x）R上單調遞增，
則f（x）在[0，1]上單調遞增，
f（0）=0，f（1）=

1

6

，
即0≤f（x）≤

1

6

，
即函數(shù)的值域為[0，

1

6

]

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查函數(shù)單調性的判斷與證明，考查分析與推理能力，屬于中檔題．