求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,1)且與圓x2+y2=9相切的直線方程.

解:解法一:當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線斜率存在時(shí),設(shè)所求切線的斜率為k,
由點(diǎn)斜式可得切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,
=3,解得k=-
故所求切線方程為-x-y+4+1=0,即4x+3y-15=0.
當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線斜率不存在時(shí),方程為x=3,也滿足條件.
故所求圓的切線方程為4x+3y-15=0或x=3.
解法二:設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),與圓的方程聯(lián)立,消去y并整理得(k2+1)x2-2k(3k-1)x+9k2-6k-8=0.
因?yàn)橹本與圓相切,所以△=0,即[-2k(3k-1)]2-4(k2+1)(9k2-6k-8)=0.
解得k=-,
所以切線方程為4x+3y-15=0.
又過(guò)點(diǎn)P(3,1)與x軸垂直的直線x=3也與圓相切,故所求圓的切線方程為4x+3y-15=0或x=3.
分析:解法一:將點(diǎn)P(3,1)代入圓的方程得32+12=10>9,所以點(diǎn)P在圓外,可設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓的切線斜率為k,寫出點(diǎn)斜式方程再化為一般式.根據(jù)圓心到切線的距離等于圓的半徑這一性質(zhì),由點(diǎn)到直線的距離公式列出含k的方程,由方程解得k,然后代回所設(shè)切線方程即可.
解法二:直線與圓相切,就是直線與圓有唯一公共點(diǎn),于是將兩曲線方程聯(lián)立所得的方程組有唯一解,從而方程判別式△=0,由此解得k值,然后回代所設(shè)切線方程即可.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查切線方程.若點(diǎn)在圓外,所求切線有兩條,特別注意當(dāng)直線斜率不存在時(shí)的情況,不要漏解.
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