Question

下列命題中正確的是（　�。�
（1）已知a，b∈R，則a=b是（a-b）+（a+b）i為純虛數(shù)的充要條件
（2）當z是非零實數(shù)時，|z+

1

z

|≥2恒成立
（3）復數(shù)z=（1-i）³的實部和虛部都是-2
（4）設z的共軛復數(shù)為

.

z

，若z+

.

z

=4，z•

.

z

=8，則

. z

z

=-i．

• A、（1）（2）
• B、（1）（3）
• C、（2）（3）
• D、（2）（4）

Answer 1

考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（1）a，b∈R，則a=b是（a-b）+（a+b）i不一定為純虛數(shù)；
（2）當z是非零實數(shù)時，|z+

1

z

|=|z|+

1

|z|

，利用基本不等式的性質即可得出；
（3）復數(shù)z=（1-i）³=-2i（1-i）=-2-2i，即可判斷出其實部和虛部；
（4）設z=a+bi（a，b∈R），則共軛復數(shù)為

.

z

=a-bi，若z+

.

z

=4=2a，z•

.

z

=8=a²+b²，解得a，b．即可判斷出．

解答： 解：（1）∵a，b∈R，則a=b是（a-b）+（a+b）i不一定為純虛數(shù)，因此不正確；
（2）當z是非零實數(shù)時，|z+

1

z

|=|z|+

1

|z|

≥2恒成立，正確；
（3）復數(shù)z=（1-i）³=-2i（1-i）=-2-2i，其實部和虛部都是-2；
（4）設z=a+bi（a，b∈R），則共軛復數(shù)為

.

z

=a-bi，若z+

.

z

=4=2a，z•

.

z

=8=a²+b²，解得a=2，b=±2．
則

. z

z

=

2-2i

2+2i

=

(1-i)2

(1+i)(1-i)

=-2i，或

. z

z

=

2+2i

2-2i

=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

=i，因此不正確．
綜上可得：只有（2）（3）正確．
故選：C．

點評：本題綜合考查了復數(shù)的有關概念及其運算性質、基本不等式的性質，考查了推理能力和技能數(shù)列，屬于中檔題．