Question

已知圓C：過點(diǎn)A（3，1），且過點(diǎn)P（4，4）的直線PF與圓C相切并和x軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)F．

（1）求切線PF的方程；

（2）若拋物線E的焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)在原點(diǎn)，求拋物線E的方程.

（3）若Q為拋物線E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x+2（2）y²=-16x（3）(－∞，30]

【解析】(1)根據(jù)點(diǎn)A在圓上，可求出m,然后設(shè)出PF的方程，根據(jù)直線與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)于k的方程，求出k值，問題解決.

(2)由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直接可確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(3)設(shè)出Q（x，y）,然后可得, 再利用,

可得， 然后利用函數(shù)的方法求出的取值范圍.

解：（1）點(diǎn)A代入圓C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．圓C：．設(shè)直線PF的斜率為k，則PF：，

即．∵直線PF與圓C相切，∴．解得． 當(dāng)k＝時(shí)，直線PF與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去．

當(dāng)k＝時(shí)，直線PF與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為－4，∴符合題意，∴直線PF的方程為y=x+2…………………6分

(2)設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-2px,

∵F（－4，0）, ∴p=8,

∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-16x…………………8分

(3) ，設(shè)Q（x，y），，．

∵y²=-16x, ∴．

∴的取值范圍是(－∞，30]．…………………13分