Question

11．已知圓C：x²+y²-8x-8y+30=0，過(guò)曲線y=$\frac{1}{x}（x＞0）$上的點(diǎn)P作圓C的切線，設(shè)點(diǎn)A為一個(gè)切點(diǎn)，則|PA|的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 要使|PA|最小，需圓心C（4，4）與點(diǎn)P的距離最小，而CP=$\sqrt{（x-4）^{2}+（y-4）^{2}}$=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}-4）^{2}+14}$≥$\sqrt{14}$，可得|PA|的最小值．

解答 解：圓C：x²+y²-8x-8y+30=0，可化為（x-4）²+（y-4）²=2
要使|PA|最小，需圓心C（4，4）與點(diǎn)P的距離最小，
而CP=$\sqrt{（x-4）^{2}+（y-4）^{2}}$=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}-4）^{2}+14}$≥$\sqrt{14}$
故|PA|的最小值為$\sqrt{14-2}$=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．