【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）若在區(qū)間內(nèi)存在極大值，證明：.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）由題意得在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得到結(jié)果；（2）構(gòu)造函數(shù)，則，由此可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間：和，則可得函數(shù)的單調(diào)性，從而得到極大值，結(jié)合條件和基本不等式即可證明結(jié)論.

（1）由題意得在區(qū)間內(nèi)恒成立，

即在區(qū)間內(nèi)恒成立，

令，則.

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，

所以，所以的取值范圍為；

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則不存在極大值.

當(dāng)時(shí)，，.

，令，則.

令，則，

則易知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

又，，

（易證明），

故存在，使得，

存在，使得，

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，

故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，即.

由，得，，

由，得，

故，所以.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中為常數(shù)．

（1）證明： ；

（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為，過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的值，并求定點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之積.

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【題目】為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查．已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

超過1小時(shí)

不超過1小時(shí)

男

20

8

女

12

m

（1）求m，n；

（2）能否有95多的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過1小時(shí)與性別有關(guān)？

（3）以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查6名學(xué)生，試估計(jì)6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的人數(shù)．

附：

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】十九世紀(jì)末：法國學(xué)者貝特朗在研究幾何概型時(shí)提出了“貝特朗悖論”，即“在一個圓內(nèi)任意選一條弦，這條弦的弦長長于這個圓的內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少？”貝特朗用“隨機(jī)半徑”“隨機(jī)端點(diǎn)”“隨機(jī)中點(diǎn)”三個合理的求解方法，但結(jié)果都不相同．該悖論的矛頭直擊概率概念本身，強(qiáng)烈地刺激了概率論基礎(chǔ)的嚴(yán)格化．已知“隨機(jī)端點(diǎn)”的方法如下：設(shè)為圓上一個定點(diǎn)，在圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)，連接，所得弦長大于圓的內(nèi)接等邊三角形邊長的概率．則由“隨機(jī)端點(diǎn)”求法所求得的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

未發(fā)病

發(fā)病

總計(jì)

未注射疫苗

20

注射疫苗

30

總計(jì)

50

50

100

現(xiàn)從所有試驗(yàn)動物中任取一只，取到“注射疫苗”動物的概率為.

（1）求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，，的值；

（2）判斷疫苗是否有效？

（3）能夠有多大把握認(rèn)為疫苗有效？

（參考公式，）

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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【題目】（題文）（2017·長春市二模）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，，點(diǎn)，分別為和中點(diǎn).

（1）求證：直線平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=（弦矢+矢2）.弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.

按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為，弦長等于9米的弧田.

（1）計(jì)算弧田的實(shí)際面積；

（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得結(jié)果與（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于定義在上的函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對一切均成立，則稱是“控制增長函數(shù)”。在以下四個函數(shù)中：①②③④是“控制增長函數(shù)”的有（空格上填入函數(shù)代碼）________.

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