Question

（2012•宿州一模）某旅行社組織了一個有36名游客的旅游團到安徽風景名勝地旅游，其中

3

4

是省外游客，其余是省內游客，在省外游客中有

1

3

玩過黃山，在省內游客中有

2

3

玩過黃山．
（1）在該團中隨機采訪3名游客，求恰有1名 省外游客玩過黃山且省內游客玩過黃山少于2人的概率；
（2）在該團的省內游客中隨機采訪3名游客，設其中省內游客玩過黃山的人數為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）先確定省外游客有27人，其中9人玩過黃山；省內游客有9人，其中6人玩過黃山，再把“在該團中隨機采訪3名游客，恰有1省外游客玩過黃山且省內游客玩過黃山少于2人”分解為互斥事件：“采訪該團3人中，1名省外游客玩過黃山，0名省內游客玩過黃山”與“采訪該團3人中，1名省外游客玩過黃山，1名省內游客玩過黃山”，即可求得概率；
（2）確定ξ的可能取值為：0，1，2，3，計算相應的概率，即可求得ξ的分布列與數學期望．

解答：解：（1）由題意得，省外游客有27人，其中9人玩過黃山；省內游客有9人，其中6人玩過黃山．
設事件B為“在該團中隨機采訪3名游客，恰有1省外游客玩過黃山且省內游客玩過黃山少于2人”．事件A₁為“采訪該團3人中，1名省外游客玩過黃山，0名省內游客玩過黃山”；事件A₂為“采訪該團3人中，1名省外游客玩過黃山，1名省內游客玩過黃山”．
則P（B）=P（A₁）+P（A₂）=

C 1 9 C 2 21

C 3 36

+

C 1 9 C 1 6 C 1 21

C 3 36

=

9

34

+

27

170

=

36

85

!
所以在該團中隨機采訪3人，恰有1名省外游客人玩過黃山且省內游客玩過黃山少于2人”的概率是

36

85

．…（6分）
（2）ξ的可能取值為：0，1，2，3
P（ξ=0）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 3

C 3 9

=

3

14

，P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 3

C 3 9

=

15

28

，P（ξ=3）=

C 3 6

C 3 9

=

5

21

所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 84	3 14	15 28	5 21

∴Eξ=0×

1

84

+1×

3

14

+2×

15

28

+3×

5

21

=2

點評：本題考查互斥事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是確定ξ的可能取值，理解其意義．