【題目】如圖1.四邊形是邊長為10的菱形，其對角線，現(xiàn)將沿對角線折起，連接，形成如圖2的四面體，則異面直線與所成角的大小為______.在圖2中，設棱的中點為，的中點為，若四面體的外接球的球心在四面體的內部，則線段長度的取值范圍為______.

【答案】

【解析】

連接、，利用線面垂直的判定定理可求異面直線與所成角的大��；先根據外接球的性質確定出四面體的外接球球心，利用勾股定理，求出和，進而求出，借助三角函數(shù)的取值范圍以及，即可求出線段長度的取值范圍.

連接、，四邊形是菱形，為棱的中點，

所以，，

又，

則平面，

由平面，

則，即異面直線與所成角的大小為.

由四邊形是邊長為10的菱形，其對角線，

則，，

是的外心，在中線中，

設過點的直線平面，易知平面，

同理是的外心，在中線上，

設過點的直線平面，易知平面，

由對稱性易知、的交點在直線上，

根據外接球的性質，點為四面體的外接球的球心，

，，

，解得，

令，根據題意可知，，且,

則平面，平面，則，

所以，，

，

，

又，，，

，即線段長度的取值范圍為，

故答案為：；

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四面體ABCD中，△ABC和△BCD均是邊長為1的等邊三角形，已知四面體ABCD的四個頂點都在同一球面上，且AD是該球的直徑，則四面體ABCD的體積為( )

A.B.C.D.

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【題目】某城市先后采用甲、乙兩種方案治理空氣污染各一年，各自隨機抽取一年（365天）內100天的空氣質量指數(shù)API的檢測數(shù)據進行分析，若空氣質量指數(shù)值在[0，300]內為合格，否則為不合格.表1是甲方案檢測數(shù)據樣本的頻數(shù)分布表，如圖是乙方案檢測數(shù)據樣本的頻率分布直方圖.

表1：

API值

[0，50]

（50，100]

（100，150]

（150，200]

（200，250]

（250，300]

大于300

天數(shù)

9

13

19

30

14

11

4

（1）將頻率視為概率，求乙方案樣本的頻率分布直方圖中的值，以及乙方案樣本的空氣質量不合格天數(shù)；

（2）求乙方案樣木的中位數(shù)；

（3）填寫下面2×2列聯(lián)表（如表2），并根據列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為該城市的空氣質量指數(shù)值與兩種方案的選擇有關.

表2：

甲方案

乙方案

合計

合格天數(shù)

_______

_______

_______

不合格天數(shù)

_______

_______

_______

合計

_______

_______

_______

附：

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的離心率是，一個頂點是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設，是橢圓上異于點的任意兩點，且．試問：直線是否恒過一定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，說明理由．

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【題目】已知為坐標原點，橢圓的離心率為，雙曲線的漸近線與橢圓的交點到原點的距離均為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點為橢圓上的動點，三點共線，直線的斜率分別為.

（i）證明：；

（ii）若，設直線過點，直線過點，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設是數(shù)列1，，，…，的各項和，，.

（1）設，證明：在內有且只有一個零點；

（2）當時，設存在一個與上述數(shù)列的首項、項數(shù)、末項都相同的等差數(shù)列，其各項和為，比較與的大小，并說明理由；

（3）給出由公式推導出公式的一種方法如下：在公式中兩邊求導得：，所以成立，請類比該方法，利用上述數(shù)列的末項的二項展開式證明：時（其中表示組合數(shù)）

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【題目】如圖，在三棱柱中，，，點是線段的中點．

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為提高產品質量，某企業(yè)質量管理部門經常不定期地對產品進行抽查檢測，現(xiàn)對某條生產線上隨機抽取的100個產品進行相關數(shù)據的對比，并對每個產品進行綜合評分（滿分100分），將每個產品所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產品為一等品.

（1）求圖中的值，并求綜合評分的中位數(shù)；

（2）用樣本估計總體，視頻率作為概率，在該條生產線中隨機抽取3個產品，求所抽取的產品中一等品數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且它的最小正周期是T，已知，.給出下列四個判斷：①對于給定的正整數(shù)，存在，使得成立；②當a時，對于給定的正整數(shù)，存在，使得成立；③當時，函數(shù)既有對稱軸又有對稱中心；④當時，的值只有0或.其中正確判斷的有( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

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