如圖,已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=1,AD=2,∠ADC=60°,AF=
3

(1)求證:AC⊥BF;
(2)求二面角F-BD-A的余弦值;
(3)求點A到平面FBD的距離.
分析:(1)在△ACD中,由題設(shè)條件推導(dǎo)出CD⊥CA,由ABCD是平行四邊形,知CA⊥AB,由直線垂直于平面的性質(zhì)得到AC⊥BF.
(2)以CD為x軸,CA為y軸,CE為z軸,建立空間直角坐標系,由題設(shè)條件分別求出平面ABD和平面FBD的法向量,用向量法能夠求出二面角F-BD-A的余弦值.
(3)求出向量
AD
和平面FBD的法向量,用向量法能夠求出點A到平面FBD的距離.
解答:(本小題滿分12分)
解:(1)在△ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos60°=4+1-2×2×1×
1
2
=3,
∴AC2+CD2=AD2,∴CD⊥CA,
∵ABCD是平行四邊形,
∴CD∥AB,
∴CA⊥AB,
∵矩形ACEF中,CA⊥AF,
∴CA⊥平面ABF,
∵BF?平面ABF,
∴AC⊥BF.
(2)∵平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,
∴CE⊥平面ABCD,
以CD為x軸,CA為y軸,CE為z軸,建立空間直角坐標系,
得C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,
3
,0),F(xiàn)(0,
3
,
3
),B(-1,
3
,0),
FB
=(-1,0,-
3
)
,
FD
=(1,-
3
,-
3
)
,
平面ABD的法向量
n
=(0,0,1)
,設(shè)平面FBD的法向量
m
=(x,y,z)

m
FB
=0
,
m
FD
=0
,
-x-
3
z=0
x-
3
y-
3
z=0
,解得
m
=(-
3
,-2,1)
,
設(shè)二面角F-BD-A的平面角為θ,
則cosθ=|cos<
n
,
m
>|=|
1
3+4+1
|=
2
4

故二面角F-BD-A的余弦值為
2
4

(3)設(shè)點A到平面FBD的距離為d,
AD
=(-1,-
3
,0)
,平面FBD的法向量
m
=(-
3
,-2,1)
,
d=
|
AD
m
|
|
m
|
=
3
3
2
2
=
3
6
4
點評:本題考查異面直線垂直的證明、二面角的余弦值的求法、點到平面的距離.解題時要認真審題,仔細解答,注意向量法的合理運用.
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2
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AE
AF
的最大值為
31
2
31
2

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