Question

已知f（θ）=1-2sinθ，g（θ）=3-4cos²θ．記F（θ）=a•f（θ）+b•g（θ）（其中a，b都為常數(shù)，且b＞0）．
（Ⅰ）若a=4，b=1，求F（θ）的最大值及此時(shí)的θ值；
（Ⅱ）若θ∈[0，

π

2

]，①證明：F（θ）的最大值是|2b-a|+b；②證明：F（θ）+|2b-a|+b≥0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將a與b的值代入利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，整理后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出F（θ）的最大值及此時(shí)的θ值；
（Ⅱ）F（θ）解析式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系整理后，設(shè)sinθ=x，得到G（x）關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對稱軸，
①當(dāng)

a

4b

≤

1

2

，即2b≥a時(shí)，求出G（x）的最大值為G（1），當(dāng)

a

4b

＞

1

2

，即2b＜a時(shí)，G（x）的最大值G（0），即可得證；
②要證F（θ）+|2b-a|+b≥0，即求證G（x）_min+|2b-a|+b≥0，其中G（x）=4b（x-

a

4b

）²+a-b-

a2

4b

（0≤x≤1），
當(dāng)

a

4b

＜0，即a＜0時(shí)，G（x）_min+|2b-a|+b大于0，當(dāng)0≤

a

4b

≤1，0≤a≤4b時(shí)，G（x）_min+|2b-a|+b也大于0，得證．

解答：解：（Ⅰ）若a=4，b=1時(shí)，F(xiàn)（θ）=4（1-2sinθ）+3-4cos²θ=4（sinθ-1）²-1，
則F（θ）_max=15，此時(shí)的θ=2kπ-

π

2

（k∈Z）；
（Ⅱ）證明：F（θ）=a（1-2sinθ）+b（3-4cos²θ）=4b（sinθ-

a

4b

）²+a-b-

a2

4b

，
令sinθ=x∈[0，1]，記G（x）=4b（x-

a

4b

）²+a-b-

a2

4b

（0≤x≤1），
則其對稱軸x=

a

4b

；
①當(dāng)

a

4b

≤

1

2

，即2b≥a時(shí)，G（x）_max=G（1）=3b-a；
當(dāng)

a

4b

＞

1

2

，即2b＜a時(shí)，G（x）_max=G（0）=a-b，
則G（x）_max=F（θ）_max=

3b-a(2b≥a) a-b(2b＜a)

=|2b-a|+b；
②F（θ）+|2b-a|+b≥0，即求證G（x）_min+|2b-a|+b≥0，
其中G（x）=4b（x-

a

4b

）²+a-b-

a2

4b

（0≤x≤1），
當(dāng)

a

4b

＜0，即a＜0時(shí)，G（x）_min+|2b-a|+b=G（0）+2b-a+b=2b＞0，
當(dāng)0≤

a

4b

≤1，即0≤a≤4b時(shí)，G（x）_min+|2b-a|+b=G（

a

4b

）+|2b-a|+b=a-b-

a2

4b

+|2b-a|+b
=a-

a2

4b

+|2b-a|=

a(4b-a)

4b

+|2b-a|≥0，
當(dāng)

a

4b

＞1，即a＞4b時(shí)，G（x）_min+|2b-a|+b=G（1）+a-2b+b=2b＞0，
綜上：F（θ）+|2b-a|+b≥0．

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，函數(shù)最值的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．