Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（a）+2且對于任意實數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程在[1，e]上恰有兩個相異實根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2
∴F（x）=x²+bsinx
依題意，對任意實數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0
即x²-bsinx=x²+bsinx，
即2bsinx=0對于任意實數(shù)x都成立，
∴b=0
∴f（x）=x²-2．…（4分）
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx，
∴g（x）=x²+2x+alnx，得
∵函數(shù)g（x）在（0，1）上上單調(diào)遞減，
∴在區(qū)間（0，1）上，g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．…（7分）
即2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
而u（x）=-（2x²+2x）在（0，1）上單調(diào)遞減
∴a≤-4．…（9分）
（Ⅲ）令，
∴
令，解得x=±2
∵x＞0，∴x=2
當0＜x＜2時，h′（x）＞0；當x＞2時，h′（x）＜0；
即h（x）在[1，2）上單調(diào)遞增，在[2，e]上單調(diào)遞減…（11分）
為了使方程在[1，e]上恰有兩個相異實根，只須h（x）=0在[1，2）和（2，e]上各有一個實根，
于是有，即
解得
所以實數(shù)k的取值范圍是．…（14分）
分析：（Ⅰ）先表示出F（x）的表達式，再根據(jù)對任意實數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0，我們可以求出b的值，進而可確定函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）將（Ⅰ）中求出的函數(shù)f（x）的解析式代入函數(shù)g（x）然后求導，將問題轉(zhuǎn)化為g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，再利用分離參數(shù)法，我們就可以求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，可以得出h（x）在[1，2）上單調(diào)遞增，在[2，e]上單調(diào)遞減，為了使方程在[1，e]上恰有兩個相異實根，只須h（x）=0在[1，2）和（2，e]上各有一個實根，可求k的范圍
點評：本題主要考查了利用奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，，函數(shù)的恒成立問題的求解常利用分離參數(shù)法解決，而函數(shù)的構(gòu)造是求解本題的關(guān)鍵．