Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，且PA⊥平面ABCD.

(1)求證：PC⊥BD；

(2)過直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點E，且三棱錐E-BCD的體積取到最大值．

①求此時四棱錐E-ABCD的高；

②求二面角A-DE-B的正弦值的大小．

 

Answer 1

（1）見解析（2），

【解析】(1)連接AC，因為四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.

又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.

又PC?平面PAC，所以PC⊥BD.

(2)解　①設PA＝x，三棱錐E-BCD的底面積為定值，在△PBC中，易知PB＝，PC＝，

又BC＝1，故△PBC直角三角形．又BE⊥PC，得EC＝，可求得該三棱錐的高h＝＝.

當且僅當x＝，即x＝時，三棱錐E-BCD的體積取到最大值，所以h＝.

此時四棱錐E-ABCD的高為.

②以點A為原點，AB，AD，AP所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0，)，易求得CE＝CP.

所以＝＋＝，＝(0,1,0)．

設平面ADE的法向量n1＝(x，y，z)，則

即令x＝，則n1＝(，0，－3)，

同理可得平面BDE的法向量n2＝＝(－1，－1，)，所以cos〈n1，n2〉＝＝－.所以sin〈n1，n2〉＝.所以二面角A-DE-B的正弦值的大小為.