Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且點P（b_n，b_n+1）（n∈N^*）在直線y=x+2上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和D_n；
（Ⅲ）設(shè)c_n=a_n•sin²，求數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可求求數(shù)列{a_n}的通項公式；利用點在直線y=x+2上，可得{b_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項b₁=1，從而可求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法，可求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和D_n；
（Ⅲ）利用分組求和法，可求數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1，a₁=2…（1分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1…（2分）
∴a_n=2a_n-1（n≥2），∴{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項a₁=2
∴…（3分）
又點在直線y=x+2上，∴b_n+1=b_n+2，
∴{b_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項b₁=1，∴b_n=2n-1…（5分）
（Ⅱ）∵
∴①
②
①-②得…（7分）
=…（8分）
…（9分）
（Ⅲ）…（11分）
T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）-（b₂+b₄+…b_2n）
=…（13分）
點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定，考查錯位相減法的運用，屬于中檔題．