Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，曲線過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線方程為.

1）求， 的值；

2）證明：當(dāng)時(shí)， ；

3）若當(dāng)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（I）根據(jù)題意，將點(diǎn) 代入函數(shù) ，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將點(diǎn) 代入求解即可.

（II）設(shè) ，對(duì) 求導(dǎo)得，對(duì)求導(dǎo)得，根據(jù)的正負(fù)性得出的增減性，根據(jù)的正負(fù)性得出的增減性，得出結(jié)論。

（III）設(shè) ，對(duì) 求導(dǎo)得，根據(jù)（II）的結(jié)論得出，并求得 ，分情況討論 和，求出 的取值范圍即可.

試題解析：（1） ，

，

（2），

設(shè)， ，

， 在上單調(diào)遞增，

， 在上單調(diào)遞增， ，

.

（3）設(shè)， ，

由（2）中知， ，

，

當(dāng)，即時(shí)， ， 在單調(diào)遞增， ，成立.

當(dāng)，即時(shí)， ，

，令，得，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減， ，不成立，

綜上， .