Question

7．一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：f₁（x）=x³，f₂（x）=5^|x|，f₃（x）=2，f₄（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，f₅（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x），f₆（x）=xcosx．
（1）從中任意取2張卡片，求至少有一張卡片寫著的函數(shù)為奇函數(shù)的概率；
（2）在（1）的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；
（3）現(xiàn)從盒子逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶后寒素的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）?列出事件判斷基本事件總數(shù)為${C}_{3}^{1}$${C}_{3}^{1}$${+C}_{3}^{2}$，求解概率即可．
（II）仔細閱讀分析得出P=$\frac{1}{3}$，
（III）ξ可取1，2，3，4． 分析概率的求解用到的組合數(shù)據(jù)，運用概率事件求解即可，列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）f₁（x）=x³為奇函數(shù)；f₂（x）=5^|x|為偶函數(shù)；f₃（x）=2為偶函數(shù)；
f₄（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$為奇函數(shù)；f₅（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）為偶函數(shù)； f₆（x）=xcosx為奇函數(shù)，
所有的基本事件包括兩類：一類為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)；
另一類為兩張卡片上寫的函數(shù)為一個是奇函數(shù)，一個為偶函數(shù)；
故基本事件總數(shù)為${C}_{3}^{1}$${C}_{3}^{1}$${+C}_{3}^{2}$
故所求概率為P=$\frac{{{C}_{3}^{1}C}_{3}^{1}{+C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
（Ⅱ）∵$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$，$\frac{{{C}_{3}^{1}C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$
P═$\frac{1}{3}$，
（Ⅲ）   P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$×$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{1}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=3）═$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$×$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{1}}$×$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{1}}$=$\frac{3}{20}$，P（ξ=4）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$×$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{1}}$×$\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{4}^{1}}$×$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{20}$；
故ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

E（ξ）=1×$\frac{1}{2}$$+2×\frac{3}{10}$$+3×\frac{3}{20}$+4×$\frac{1}{20}$=$\frac{7}{4}$

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一