Question

（2013•杭州模擬）已知函數f（x）=（x²+ax+a）•e^x（a∈R）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間與極值；
（2）設g（x）=f（x）-t（t∈R，a＞2），若函數g（x）在[-3，+∞）上有三個零點，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導，通過對a與2比較討論即可得出其單調區(qū)間及極值；
（2）利用（1）畫出圖象，通過對a分類討論及比較f（-3）與f（-2）的大小即可求出t的取值范圍．

解答：解：（1）f^′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x=（x+2）（x+a）e^x．
①當a=2時，f^′（x）≥0，∴f（x）在R上單調遞增；
②當a≠2時，令f^′（x）=0，解得x=-2或-a．
不妨令x₁＜x₂，（x₁是-2與-a兩個數中較小的一個，x₂是另一個）．列表如下：
當a＜2時，-a＞-2，取x₁=-2，x₂=-a，其單調區(qū)間如表格，其極大值為f（-2）=（4-a）e^-2，
極小值為f（-a）=ae^-a．
當a＞2時，-a＜-2，取x₁=-a，x₂=-2，其單調區(qū)間如表格，其極小值為f（-2）=（4-a）e^-2，
極大值為f（-a）=ae^-a．
（2）當a＞2時，利用（1）的結論畫出圖象：
f（-3）=（9-2a）e^-3，又f（-3）-f（-2）=e-3(e-2)(a-

4e-9

e-2

)，由于a＞2，且

4e-9

e-2

＞2，
∴①當2＜a≤

4e-9

e-2

時，f（-3）≤f（-2），∴f（-2）＜t＜f（-a）時，函數y=f（x）（x∈[-3，+∞））的圖象與y=t的圖象有三個交點，即函數y=g（x）有三個零點；
②當

4e-9

e-2

＜a＜3時，f（-3）＞f（-2），∴f（-3）≤t＜f（-a）時，函數y=f（x）（x∈[-3，+∞））的圖象與y=t的圖象有三個交點，即函數y=g（x）有三個零點；
③當a≥3時，函數y=f（x）（x∈[-3，+∞））的圖象與y=t的圖象至多有三個交點，即函數y=g（x）至多有兩個零點．
綜上可知：①當2＜a≤

4e-9

e-2

時，t∈（（4-a）e^-2，ae^-a）時，函數g（x）有三個零點；
②當

4e-9

e-2

＜a＜3時，t∈（（9-2a）e^-3，ae^-a）時，函數g（x）有三個零點；
③當a≥3時，則不存在滿足題意的實數t．

點評：熟練利用導數得出其單調區(qū)間與極值并畫出圖象和應用分類討論的思想方法是解題的關鍵．