Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，將它們沿對(duì)角線BD折起，折后的C變?yōu)镃₁，且A、C₁間的距離為2．
（1）求證：平面A C₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角B-AC₁-D的余弦值；
（3）E為線段A C₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段EC₁的長(zhǎng)為多少時(shí)？DE與平面BC₁D所成的角為30°．

Answer 1

分析：（1）由ABCD是平行四邊形，知∠BDC₁=∠ABD=90°，故AB⊥BD，C₁D⊥BD，由此能夠證明平面A C₁D⊥平面ABD．
（2）由AB⊥BD，AB⊥C₁D，知AB⊥平面BC₁D，以B為原點(diǎn)，以平行于DC₁的直線為x軸，以BD為y軸，以BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出二面角B-AC₁-D的余弦值．
（3）設(shè)

C1E

=λ

C1A

，則

DE

=

DC1

+

C1E

=

DC1

+λ

C1A

=（1，0，0）+λ（-1，-

2

，1）=（1-λ，-

2

λ，λ），利用向量法能夠推導(dǎo)出當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DE與平面BC₁D所成的角為30°．

解答：解：（1）∵ABCD是平行四邊形，
∴∠BDC₁=∠ABD=90°，
∴AB⊥BD，C₁D⊥BD，
∴AD=BC₁=

3

，
由C₁D=1，AC₁=2，得AC12=C1D2+AD2，
∴C₁D⊥AD，
∴C₁D⊥平面ABD，
∵C₁D?平面AC₁D，
∴平面A C₁D⊥平面ABD．
（2）∵AB⊥BD，AB⊥C₁D，
∴AB⊥平面BC₁D，
∴以B為原點(diǎn)，以平行于DC₁的直線為x軸，
以BD為y軸，以BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，1），D（0，

2

，0），C1(1，

2

，0)，
∴

BA

=(0，0，1)，

BC1

=(1，

2

，0)，

AD

=(0，

2

，-1)，

DC1

=(1，0，0)，
設(shè)平面ABC₁的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則

n1

•

BA

=0，

n1

•

BC1

=0，
∴

z1=0 x1+ 2 y1=0

，解得

n1

=（-

2

，1，0）．
設(shè)平面ADC₁的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，
則

n2

•

DC1

=0，

n2

•

AD

=0，
∴

x2=0 2 y2-z2=0

，解得

n2

=(0，1，

2

)，
設(shè)二面角B-AC₁-D的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

1

3 • 3

|=

1

3

．
（3）設(shè)

C1E

=λ

C1A

，
則

DE

=

DC1

+

C1E

=

DC1

+λ

C1A

=（1，0，0）+λ（-1，-

2

，1）
=（1-λ，-

2

λ，λ），
∵平面ABC⊥平面BCD，∴

BA

=(0，0，1)是平面BCD的一個(gè)法向量，
若DE與平面BC₁D所成的角為30°，
則＜

DE

，

BA

＞=60°，
∴cos＜

DE

，

BA

＞=

1

2

，
∵cos＜

DE

，

BA

＞=

DE • BA

| DE |•| BA |

=

λ

(1-λ)2+2λ2+λ2

，
∴

λ

(1-λ)2+2λ2+λ2

=

1

2

，
整理，得1-2λ=0，解得λ=

1

2

．
故當(dāng)E為AB的中點(diǎn)，即|C₁E|=1時(shí)，DE與平面BC₁D所成的角為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的位置的判斷．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和向量法的合理運(yùn)用．