【題目】已知函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)用定義證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性;
(3)若對(duì)任意的x∈R,不等式f(x2﹣x)+f(2x2﹣k)>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】
(1)
解:∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)是奇函數(shù),
∴f(0)=0,解得a=1
此時(shí)f(x)=2x﹣2﹣x,滿足f(﹣x)=﹣f(x),即f(x)是奇函數(shù).
∴a=1.
(2)
證明:任取x1<x2,則 , ,
于是f(x1)﹣f(x2)=( )﹣( )= ﹣( )<0,
即f(x1)<f(x2),故函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).
(3)
解:不等式f(x2﹣x)+f(2x2﹣k)>0可化為:f(x2﹣x)>﹣f(2x2﹣k)=f(﹣2x2+k)
又由f(x)在R上是增函數(shù),
得x2﹣x>﹣2x2+k,
即k<3x2﹣x對(duì)任意的x∈R恒成立
∵當(dāng)x= 時(shí),3x2﹣取最小值 ,
∴k<
【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)是奇函數(shù),故f(0)=0,解得a值;(2) 任取x1<x2 , 作差判斷f(x1)與f(x2)的大小,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,可得函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性;(3)若對(duì)任意的x∈R,不等式f(x2﹣x)+f(2x2﹣k)>0恒成立,
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí),掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果二面角α﹣L﹣β的大小是60°,線段AB在α內(nèi),AB與L所成的角為60°,則AB與平面β所成角的正切值是 .
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【題目】設(shè)集合A={x|x2+ax﹣12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={﹣3,4},A∩B={﹣3},求實(shí)數(shù)b,c的值.
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【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為, 是橢圓上一點(diǎn),若, .
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過(guò)右焦點(diǎn)(不與軸重合)且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得的值為定值?若存在,寫出點(diǎn)的坐標(biāo)(不必求出定值);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠的污水處理程序如下:原始污水必先經(jīng)過(guò)A系統(tǒng)處理,處理后的污水(A級(jí)水)達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)(簡(jiǎn)稱達(dá)標(biāo))的概率為.經(jīng)化驗(yàn)檢測(cè),若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放;若不達(dá)標(biāo)則必須進(jìn)行B系統(tǒng)處理后直接排放.
某廠現(xiàn)有個(gè)標(biāo)準(zhǔn)水量的A級(jí)水池,分別取樣、檢測(cè). 多個(gè)污水樣本檢測(cè)時(shí),既可以逐個(gè)化驗(yàn),也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn).混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo),則混合樣本的化驗(yàn)結(jié)果必不達(dá)標(biāo).若混合樣本不達(dá)標(biāo),則該組中各個(gè)樣本必須再逐個(gè)化驗(yàn);若混合樣本達(dá)標(biāo),則原水池的污水直接排放.
現(xiàn)有以下四種方案,
方案一:逐個(gè)化驗(yàn);
方案二:平均分成兩組化驗(yàn);
方案三:三個(gè)樣本混在一起化驗(yàn),剩下的一個(gè)單獨(dú)化驗(yàn);
方案四:混在一起化驗(yàn).
化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小,則方案的越“優(yōu)”.
(Ⅰ) 若,求個(gè)A級(jí)水樣本混合化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率;
(Ⅱ) 若,現(xiàn)有個(gè)A級(jí)水樣本需要化驗(yàn),請(qǐng)問(wèn):方案一,二,四中哪個(gè)最“優(yōu)”?
(Ⅲ) 若“方案三”比“方案四”更“優(yōu)”,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】支籃球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽(任兩支球隊(duì)恰進(jìn)行一場(chǎng)比賽),任兩支球隊(duì)之間勝率都是.單循環(huán)比賽結(jié)束,以獲勝的場(chǎng)次數(shù)作為該隊(duì)的成績(jī),成績(jī)按從大到小排名次順序,成績(jī)相同則名次相同.有下列四個(gè)命題:
:恰有四支球隊(duì)并列第一名為不可能事件; :有可能出現(xiàn)恰有兩支球隊(duì)并列第一名;
:每支球隊(duì)都既有勝又有敗的概率為; :五支球隊(duì)成績(jī)并列第一名的概率為.
其中真命題是
A. ,, B. ,, C. .. D. ..
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【題目】已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(﹣2,1,6),C(1,﹣1,5);求:
(1)求以向量 為一組鄰邊的平行四邊形的面積S;
(2)若向量a分別與向量 垂直,且|a|= ,求向量a的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)為定義R在的偶函數(shù),當(dāng)0≤x≤2時(shí),y= ;當(dāng)x>2時(shí),y=f(x)的圖象是頂點(diǎn)在p(3,4),且過(guò)點(diǎn)A(2,3)的拋物線的一部分.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在下面的直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)f(x)的圖象,寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(無(wú)需證明).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(4x+1)﹣x,g(x)=log2a+log2(2x﹣ )(a>0,x>1).
(1)證明函數(shù)f(x)為偶函數(shù);
(2)若函數(shù)f(x)﹣g(x)只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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