Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*），b_n=（3ⁿ-1）（

n

2n

）•a_n，{b_n}的前n項和為T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+

n

2(n+1)

對一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對a_n+1=

an

an+3

，兩邊取倒數(shù)，再構(gòu)造數(shù)列，求出a_n=

2

3n-1

，從而得到b_n=n•（

1

2

）^n-1，再運用錯位相減法，求出T_n，討論n為偶數(shù)，n為奇數(shù)，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，求出最值，即可得到λ的取值范圍．

解答： 解：∵a₁=1，a_n+1=

an

an+3

，
∴兩邊取倒數(shù)，得

1

an+1

=1+

3

an

，
令

1

an+1

+t=3（

1

an

+t）即t=

1

2

，
∴

1

an

+

1

2

=（

1

a1

+

1

2

）•3^n-1=

3n

2

，
∴a_n=

2

3n-1

，
∵b_n=（3n-1）•

n

2n

•a_n
∴b_n=n•（

1

2

）^n-1
∴T_n=1•（

1

2

）⁰+2•（

1

2

）¹+3•（

1

2

）²+…+n•（

1

2

）^n-1

1

2

T_n=1•（

1

2

）¹+2•（

1

2

）²+3•（

1

2

）³…+n•（

1

2

）ⁿ
相減得

1

2

T_n=1+

1

2

+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1-n•（

1

2

）ⁿ
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•（

1

2

）ⁿ
∴T_n=4[1-（

1

2

）ⁿ]-2n•（

1

2

）ⁿ=4-（

1

2

）ⁿ•（2n+4）
當(dāng)n為偶數(shù)時，λ＜4-（

1

2

）ⁿ•（2n+4）+

n

2(n+1)

恒成立，
∵

n

2(n+1)

=

1

2(1+ 1 n )

遞增，-（

1

2

）ⁿ•（2n+4）也為遞增，
∴

n

2(n+1)

-（

1

2

）ⁿ•（2n+4）遞增，
∴當(dāng)n=2時

2

2×3

-

1

4

×8=-

5

3

即λ＜

7

3

，
當(dāng)n為奇數(shù)時-λ＜4-（

1

2

）ⁿ•（2n+4）+

n

2(n+1)

恒成立，
即-λ＜4-

1

2

×6+

1

4

即λ＞-

5

4

∴λ的取值范圍是（-

5

4

，

7

3

）．

點評：本題考查數(shù)列的通項和求和，考查取倒數(shù)、構(gòu)造數(shù)列的方法求通項，以及錯位相減法求數(shù)列的和，同時考查數(shù)列不等式的恒成立，注意運用數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．