Question

【題目】已知兩個(gè)無窮數(shù)列分別滿足，，

其中，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，

（1）若數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)（），使得，稱數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”

①若數(shù)列為“5墜點(diǎn)數(shù)列”，求；

②若數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2）①②

【解析】

(1)∵數(shù)列都為遞增數(shù)列，

∴由遞推式可得,，

則數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列從第二項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列．

∴；

(2)①∵數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)k=5,使得,且，

∴數(shù)列必為1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4項(xiàng)為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，從第5項(xiàng)開始為首項(xiàng)5，公差為2的等差數(shù)列，

故；

②∵，即，∴，而數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”且，數(shù)列中有且只有兩個(gè)負(fù)項(xiàng).假設(shè)存在正整數(shù)，使得，顯然，且為奇數(shù)，而中各項(xiàng)均為奇數(shù)，∴必為偶數(shù). .

ⅰ.當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，故不存在，使得成立.

ⅱ.當(dāng)時(shí)，，顯然不存在，使得成立.

ⅲ.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，才存在，使得成立.所以.當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造為1,3,1,3,5,7,9，…，為-1,2,4,8，-16,32，…，此時(shí)，所以的最大值為6.