Question

（2012•咸陽三模）已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分別是某等差數(shù)列的第5項、第3項、第2項，且a1=

1

2

，公比q≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{b_n}滿足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2n-1（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式，{a_n}是等比數(shù)列，只要根據(jù)已知的條件求出首項和公比即可將通項公式寫出來．
（2）則是根據(jù)數(shù)列a_n與b_n的關(guān)系，求出數(shù)列b_n的通項公式．然后用等比數(shù)列求和公式求出數(shù)列數(shù)列{b_n}的前n項和S_n，注意s₁單獨求．

解答：解：（1）由已知條件得a₂-a₃=2（a₃-a₄）．
即a₁（q-q²）=2a₁（q²-q³）
整理得：2q³-3q²+q=0解得q=

1

2

或q=1（舍去）或q=0（舍去）
所以an=(

1

2

)n．
（2）當(dāng)n=1時，a₁b₁=1，∴b₁=2，
當(dāng)n≥2時，a₁b₁+a₂b₂++a_n-1b_n-1+a_nb_n=2n-1（1）
a₁b₁+a₂b₂++a_n-1b_n-1=2n-3（2）
（1）-（2）得：a_nb_n=2
∵an=(

1

2

)n．∴b_n=2^{n+1（n≥2）}
因此bn=

2，n=1 2n+1，n≥2

當(dāng)n=1時，S_n=S₁=b₁=2；
當(dāng)n≥2時，Sn=b1+b2++bn=2+

8(1-2n-1)

1-2

=2n+2-6．
綜上，S_n=2ⁿ⁺²-6．

點評：本題是一個求數(shù)列通項和數(shù)列求和問題．求數(shù)列通項時，注意首項要單獨求．求數(shù)列前n項和時，s₁要單獨球，學(xué)生容易犯錯誤．