Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-4x+b，且不等式|f（x）|＜k的解集為{x|-1＜x＜2}．
（Ⅰ）求b，k的值；
（Ⅱ）證明：函數(shù)φ(x)=

4x

f(x)

的圖象關(guān)于點(diǎn)P(

1

2

，-1)對(duì)稱(chēng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把絕對(duì)值不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，求出解集，將求出的解集和已知的解集作對(duì)比，列方程組解出b，k的值．
（Ⅱ）在φ（x）圖象上任取一點(diǎn)N（x_°，y_°），求出N（x_°，y_°）關(guān)于P(

1

2

，-1)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′的坐標(biāo)，證明N′的坐標(biāo)仍然滿(mǎn)足函數(shù)φ（x）的解析式，即可證得結(jié)論成立．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-4x+b，∴|f（x）|＜k可化為|-4x+b|＜k，∴

b-k

4

＜x＜

b+k

4

，
又|f（x）|＜k的解集為{x|-1＜x＜2}，∴

b-k 4 =-1 b+k 4 =2.

解得

b=2 k=6.

（6分）

證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-4x+2，∴φ(x)=

4x

f(x)

=

4x

-4x+2

=

2x

-2x+1

，
在φ（x）圖象上任取一點(diǎn)N（x_°，y_°），∴y°=

2x°

-2x°+1

．
設(shè)N（x_°，y_°）關(guān)于P(

1

2

，-1)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N′，則N′（1-x_°，-2-y_°）．
∵φ(1-x°)=

2(1-x°)

-2(1-x°)+1

=

2(1-x°)

2x°-1

，
又-2-y°=-2-

2x°

-2x°+1

=

4x°-2-2x°

-2x°+1

=

2x°-2

1-2x°

=φ(1-x°)，

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=4
∴N′（1-x_°，-2-y_°）在函數(shù)φ（x）圖象上，
∴函數(shù)φ(x)=

4x

f(x)

的圖象關(guān)于點(diǎn)P(

1

2

，-1)對(duì)稱(chēng)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，證明函數(shù)圖象關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的方法：在函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，證明此點(diǎn)關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)還在此函數(shù)的圖象上．