Question

設(shè)函數(shù)f（x）=5^x-6，g (x)=log

5

f(x)
（1）解不等式g（n）[g（1）+g（2）+…+g（n）]＜0 （n∈N^*）；
（2）求h（n）=g（n）[g（1）+g（2）+…+g（n）]-132n （n∈N^*）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)整理函數(shù)g（n），然后求出g（1）+g（2）++g（n），然后解不等式即可；
（2）由（1）整理函數(shù)h（n），再求導(dǎo)，然后令h′（x）＞0，求出單調(diào)區(qū)間，進而求出極值．

解答：解：（1）g(n)=log

5

(5n-6)=2n-12 (n∈N*)，（2分）
∴g（1）+g（2）++g（n）=n²-11n，（2分）
解不等式（2n-12）（n²-11n）＜0，得6＜n＜11（n∈N^*）；（2分）
（2）當x∈R時，h（x）=（2x-12）（x²-11x）-132x
=2x³-34x²，h′（x）=6x²-68x，
由h′（x）＞0，得x＜0或x＞11

1

3

，（2分）
∵n∈N^*，∴1≤n≤11時，h（n）單調(diào)遞減，
n≥12時，h（n）單調(diào)遞增，（2分）
當n=11時，h（11）=-1452，當n=12時，h（12）=-1440，
∴h（n）_min=h（11）=-1452．（2分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求極值、對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)以及不等式的解法，綜合性比較強，把握好基本知識，此類型題目并不難．