Question

19．已知函數(shù)f（x）=xlnx-a（x-1）²-x+1．
（1）當a=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）當x＞1且a≥$\frac{1}{2}$時，證明：f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）代入a值，求導，利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出f（x）的表達式，利用構(gòu)造函數(shù)g（x），利用導函數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性證明結(jié)論．

解答 解析：（Ⅰ）a=0時，f′（x）=1+lnx-1=0，x=1，
當x＞1時，f′（x）＞0；當0＜x＜1時，f′（x）＜0．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），
f（x）在x=1處取得極小值f（1）=0，無極大值．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=lnx-2a（x-1），設g（x）=lnx-2a（x-1），則g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a＜0，
∴g（x）＜g（1）=0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）＜f（1）=0．
∴f（x）＜0．（12分）

點評 考查了導函數(shù)的應用，和構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)證明結(jié)論．