Question

12．已知圓M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點．
（1）若點Q的坐標(biāo)為（-1，0），求切線QA，QB的方程；
（2）求四邊形QAMB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求切線QA，QB的方程；
（2）連接QM，則易知四邊形QAMB的面積$S=2{S_{△QAM}}=2×\frac{1}{2}×|{QA}||{MA}|=|{QA}|=\sqrt{{{|{QC}|}^2}-1}$，即可求四邊形QAMB的面積的最小值．

解答 解：（1）由題意，過點（-1，0），且與x軸垂直的直線顯然與圓M相切，此時，切線方程為x=-1
當(dāng)過點（-1，0）的直線不與x軸垂直時，設(shè)其方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
由$\frac{{|{-2+k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$解得$k=\frac{3}{4}$，此時切線方程為3x-4y+3=0；
（2）連接QM，則易知四邊形QAMB的面積S=2S_△QAM=2×$\frac{1}{2}×|QA||MA|$=|QA|=$\sqrt{|QM{|}^{2}-1}$．
故當(dāng)點Q為坐標(biāo)原點時，${S_{min}}=\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與圓 的位置關(guān)系，考查面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．