Question

【題目】已知過原點(diǎn)的動直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)．

（1）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

試題分析：（1）利用垂徑定理得到，取的中點(diǎn)N，則點(diǎn)M的軌跡是以N為圓心，為半徑的圓在圓內(nèi)部的圓弧

則點(diǎn)M的軌跡是以N為圓心，為半徑的圓在圓內(nèi)部的圓弧．寫出圓方程，進(jìn)一步求得x的取值范圍，（2）直線L:y=k（x-4）經(jīng)過定點(diǎn)R（4，0）過點(diǎn)R作圓的切線，切點(diǎn)為Q，判斷切點(diǎn)在圓弧上，又 ，所以．

試題解析：（1）取AB的中點(diǎn)M，連接．根據(jù)垂徑定理有即．取的中點(diǎn)N

則點(diǎn)M的軌跡是以N為圓心，為半徑的圓在圓內(nèi)部的圓弧．其所在圓的方程為，聯(lián)立解得 所以C:

（2）直線L:y=k（x-4）經(jīng)過定點(diǎn)R（4，0）過點(diǎn)R作圓的切線，切點(diǎn)為Q，下面判斷切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在內(nèi)，作出圓 ，C為的圓心，P為（2）中圓弧上端點(diǎn)，P作，則由相似三角形得， 而所以切點(diǎn)Q在（2）求得的圓弧上，又 ，所以．