已知函數(shù)f（x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），試判別f（x）的奇偶性________．

奇函數(shù)
分析：判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉(zhuǎn)化為求f（0）即可，可對(duì)x、y都賦值為0即可求出f（0）．
解答：顯然f（x）的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又∵函數(shù)對(duì)一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
故答案為：奇函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其性質(zhì)，在研究其奇偶性時(shí)本題采取了連續(xù)賦值的技巧，這是判斷抽象函數(shù)性質(zhì)時(shí)常用的一種探究的方式，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

3、已知函數(shù)f（x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），試判別f（x）的奇偶性
奇函數(shù)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞-1，f（1）=0．
（1）求f（5）的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并證明；
（3）若對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)ε，總能找到一個(gè)正實(shí)數(shù)σ，使得當(dāng)|x-x0|＜σ時(shí)，|f（x）-f（x0）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）在x=x0處連續(xù)．試證明：f（x）在x=0處連續(xù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足對(duì)一切x1，x2∈R都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2，且f（1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)有f（x）＜0．
（1）求f（-1）的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性；
（3）解不等式：[f（x2-2x）]2+2f（x2-2x-1）-12＜0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x），對(duì)任意的實(shí)數(shù)x滿足f（x-2）=f（x+2），且當(dāng)x∈[-1，3）時(shí)，f(x)=
2-|x|，(-1≤x≤1)
k
-x2+4x-3
，(1＜x＜3)
，若直線y=
1
4
x與函數(shù)f（x）的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為
-
35
4
＜k＜-
3
4
或
3
4
＜k＜
35
4
-
35
4
＜k＜-
3
4
或
3
4
＜k＜
35
4
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)，在區(qū)間[4，6]上的最大值為1007，最小值為-2，則2f（-6）+f（-4）=（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案