Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，a₁=

π

6

，a₄=

7π

6

，設(shè)b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，則數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,等差數(shù)列的通項公式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先，根據(jù)a₁=

π

6

，a₄=

7π

6

，求出該等差數(shù)列的公差，然后，寫出通項公式，再結(jié)合三角函數(shù)積化和差公式進行求解．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則a₄=a₁+3d=

π

6

+3d=

7π

6

，
∴d=

π

3

，
∴通項公式a_n=

π

6

（2n-1），
∴a_n+1=

π

6

（2n+1），a_n+2=

π

6

（2n+3），
∵b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，
∴b_n=sina_n•sina_n+2^•sina_n+1
=-

1

2

[cos（a_n+a_n+2）-cos（a_n-a_n+2）]•sina_n+1
=-

1

2

[cos（2a_n+1）+

1

2

]•sina_n+1
=-

1

2

sina_n+1cos2a_n+1-

1

4

sina_n+1
=-

1

2

×

1

2

（sin3a_n+1-sina_n+1）-

1

4

sina_n+1
=-

1

4

sin3a_n+1+

1

4

sina_n+1-

1

4

sina_n+1
=-

1

4

sin[3×

π

6

（2n+1）]
=-

1

4

sin（nπ+

π

2

）
=（-1）^n-1•

1

4

故答案為：（-1）^n-1•

1

4

．

點評：本題綜合考查了等差數(shù)列的概念和通項公式，兩角和與差的三角函數(shù)等知識，屬于中檔題．