Question

如圖甲，一個正方體魔方由27個單位（長度為1個單位長度）小立方體組成，把魔方中間的一層EFGH-E₁F₁G₁H₁轉(zhuǎn)動α，如圖乙，設(shè)α的對邊長為x

（1）試用α表示x；
（2）求魔方增加的表面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）把魔方中間的一層EFGH-E₁F₁G₁H₁轉(zhuǎn)動α，根據(jù)正方體的邊長為3，可得邊長被截得的三段長分別為x，

x

sinα

，

x

tanα

，進而可用α表示x；
（2）魔方增加的表面積為S=8-

x2

tanα

，結(jié)合（1）可得S=

72sinα•cosα

(1+sinα+cosα)2

，α∈（0，

π

2

），令t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），t∈（1，

2

]，利用分析法可得函數(shù)的最值．

解答：解：（1）由題意得x+

x

sinα

+

x

tanα

=3，
解得x=

3

1+ 1 sinα + 1 tanα

=

3sinα

1+sinα+cosα

，α∈（0，

π

2

），（6分）
（2）魔方增加的表面積為S=8×

x2

tanα

，
由（1）得S=

72sinα•cosα

(1+sinα+cosα)2

，α∈（0，

π

2

），（10分）
令t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），t∈（1，

2

]，
則S=

36(t2-1)

(1+t)2

=36（1-

2

t+1

）≤36×（1-

2

2 +1

）=108-72

2

（當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

，即α=

π

4

時等號成立），
答：當(dāng)α=

π

4

時，魔方增加的表面積最大為108-72

2

．（12分）

點評：本題考查的知識點是求函數(shù)的解析式，函數(shù)的最值，其中根據(jù)邊長被截得的三段長分別為x，

x

sinα

，

x

tanα

，用α表示x是解答的關(guān)鍵．