12.已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C1:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1),過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)過(guò)拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上一點(diǎn)P的切線與橢圓C1交于不同兩點(diǎn)M,N.點(diǎn)A為橢圓C1的右頂點(diǎn),記線段MN與PA的中點(diǎn)分別為G,H點(diǎn),當(dāng)直線CH與x軸垂直時(shí),求h的最小值.

分析 (1)通過(guò)將點(diǎn)Q($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1)、y=c代入橢圓方程,計(jì)算即得結(jié)論;
(2)通過(guò)設(shè)P(t,t2+h),則直線MN的方程為:y=2tx-t2+h,代入橢圓方程,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理計(jì)算即得結(jié)論.

解答 解:(1)∵橢圓過(guò)點(diǎn)Q($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1),∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1$,
將y=c代入橢圓方程得:x=±$\frac{^{2}}{a}$,∴$\frac{2^{2}}{a}$=1,
解得:a=2,b=1,
∴橢圓C1的方程為:${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$;
(2)設(shè)P(t,t2+h),由y′=2x可知切線斜率k=2t,
∴直線MN的方程為:y=2tx-t2+h,
將其代入橢圓方程得:4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,
化簡(jiǎn)得:4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0,
∵直線MN與橢圓交于不同的兩點(diǎn),∴△>0,
即△=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0              (*)
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=$\frac{t({t}^{2}-h)}{1+{t}^{2}}$,x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{t({t}^{2}-h)}{2(1+{t}^{2})}$,
設(shè)線段PA中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3,則x3=$\frac{1+t}{2}$,
由已知有x0=x3,即$\frac{t({t}^{2}-h)}{2(1+{t}^{2})}$=$\frac{1+t}{2}$,
顯然t≠0,h=-(t+$\frac{1}{t}$+1),
當(dāng)t>0時(shí),t+$\frac{1}{t}$≥2,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào),
此時(shí)h≤-3,不符合(*)式,舍去;
當(dāng)t<0時(shí),(-t)+$\frac{1}{-t}$≥2,當(dāng)且僅當(dāng)t=-1時(shí)取等號(hào),
此時(shí)h≥1,符合(*)式;
綜上所述,h的最小值為1.

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題,考查運(yùn)算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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431 257 393 027 556 488 730 113 527 989
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