Question

已知函數(shù)y＝f(x)對(duì)于任意(k∈Z)，都有式子f(a－tanθ)＝cotθ－1成立(其中a為常數(shù))．

(Ⅰ)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；

(Ⅱ)利用函數(shù)y＝f(x)構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，方法如下：

對(duì)于給定的定義域中的x₁，令x₂＝f(x₁)，x₃＝f(x₂)，…，x_n＝f(x_n－1)，…在上述構(gòu)造過程中，如果x_i(i＝1，2，3，…)在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程就停止．

(ⅰ)如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列，求a的取值范圍；

(ⅱ)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(ⅲ)當(dāng)a＝1時(shí)，若x₁＝－1，求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)令x＝a－tanθ()，則tanθ＝a－x，而，

　　故＝，

　　∴＝()．……………3分

　　(Ⅱ)(ⅰ)根據(jù)題意，只需當(dāng)時(shí)，方程有解，…………4分

　　亦即方程有不等于的解．

　　將代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等．故方程不可能有解．…………5分

　　由△＝，得或，

　　即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．………7分

　　(ⅱ)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}，那么根據(jù)題意可知，＝在R中無(wú)解，……8分

　　亦即當(dāng)x≠a時(shí)，方程(1＋a)x＝a²＋a－1無(wú)實(shí)數(shù)解．

　　由于不是方程的解，

　　所以對(duì)于任意x∈R，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，

　　因此解得．

　　∴即為所求的值．…………………11分

　　(ⅲ)當(dāng)時(shí)，，所以，．

　　兩邊取倒數(shù)，得，即．

　　所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列．

　　故，所以，，

　　即數(shù)列的通項(xiàng)公式為．……………14分