Question

9．根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：
（1）$\underset{lim}{n→∞}（-1）^{n}\frac{1}{{n}^{2}}$；   
（2）$\underset{lim}{n→∞}\frac{3n+1}{2n+1}$；
（3）$\underset{lim}{n→∞}$$\underset{\underbrace{0.999…9}}{n個}$=1；
（4）$\underset{lim}{n→∞}\frac{sinn}{n}$=0．

Answer 1

分析 （1）設(shè)a_n=（-1）ⁿ，b_n=$\frac{1}{n^2}$，根據(jù){a_n}的有界性，求極限；
（2）分式型極限，將分子分母除以n，$\frac{3n+1}{2n+1}$=$\frac{3+\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}$，再求極限；
（3）原式可化為：9×（$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{10^2}$+$\frac{1}{10^3}$+…+$\frac{1}{10^n}$），再運(yùn)用等比數(shù)列求和，再求極限；
（4）設(shè)a_n=sinn，b_n=$\frac{1}{n}$，根據(jù){a_n}的有界性，求極限；

解答 解：（1）設(shè)a_n=（-1）ⁿ，b_n=$\frac{1}{n^2}$，
∵|a_n|≤1，∴{a_n}是有界數(shù)列，且$\underset{lim}{n→∞}$b_n=0，
因此，原式=$\underset{lim}{n→∞}$[a_n•b_n]=0；
（2）∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3n+1}{2n+1}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3+\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}$=$\frac{3}{2}$；
（3）$\underset{\underbrace{0.999…9}}{n個}$=0.9+0.09+0.009+…+0.000…9
=9×（$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{10^2}$+$\frac{1}{10^3}$+…+$\frac{1}{10^n}$）=9×$\frac{\frac{1}{10}（1-\frac{1}{10^n}）}{1-\frac{1}{10}}$=1-$\frac{1}{10^n}$，
所以，$\underset{lim}{n→∞}$$\underset{\underbrace{0.999…9}}{n個}$=$\underset{lim}{n→∞}$（1-$\frac{1}{10^n}$）=1；
（4）設(shè)a_n=sinn，b_n=$\frac{1}{n}$，
∵|a_n|≤1，∴{a_n}是有界數(shù)列，且$\underset{lim}{n→∞}$b_n=0，
因此，原式=$\underset{lim}{n→∞}$[a_n•b_n]=0．

點(diǎn)評 本題主要考查了極限及其運(yùn)算，以及兩個數(shù)列乘積極限的運(yùn)算法則，等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．