Question

定義M_xⁿ=x（x+1）（x+2）…（x+n-1）（x∈R，n∈N^*），如M_-4⁴=（-4）×（-3）×（×2）×（-1）=24．對于函數(shù)f（x）=M_x-1³，給出下列四個命題：
①f （x）的最大值為

2 3

9

；②f （x）為奇函數(shù)；③f（x）的圖象不具備對稱性；④f （x）在(-

3

3

，

3

3

)上是減函數(shù)，
真命題是

②④

（填命題序號）．

Answer 1

分析：由題中條件可得，f（x）=M_x-1³=（x-1）（x）（x+1）=x（x²-1）=x³-x，對函數(shù)求導可得，f′（x）=3x²-1，
①通過研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解函數(shù)的極值及最值進行判斷；②利用奇函數(shù)的定義驗證f（-x）=-f（x）是否成立；③結(jié)合②的討論可進行判斷即可④由①的討論可知

解答：解：由題意可得，f（x）=M_x-1³=（x-1）（x）（x+1）=x（x²-1）=x³-x
①：f′（x）=3x²-1，
由f′（x）＞0可得x＞

3

3

或x＜-

3

3

；由f′（x）＜0可得-

3

3

＜x＜

3

3

所以可得函數(shù)在（-∞，-

3

3

），(

3

3

，+∞)單調(diào)遞增，在（-

3

3

，+

3

3

）單調(diào)遞減
故可得函數(shù)在x=-

3

3

處取得極大值

2 3

9

，而沒有最大值①錯誤
②：f（-x）=（-x）³+x=-x³+x=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)，②正確
③：由②可得函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱③錯誤
④：由①的討論可知④正確
故答案為：②④

點評：本題以新定義為載體，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是要根據(jù)題目中的定義求解出函數(shù)的解析式，進而結(jié)合導數(shù)的知識求解．