已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a＞0．設(shè)兩曲線y＝f(x)，y＝g(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．

(Ⅰ)用a表示b，并求b的最大值；

(Ⅱ)求證：f(x)≥g(x)(x＞0)．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．

　　，，由題意，．

　　即由得：，或(舍去)．

　　即有．

　　令，則．于是

　　當(dāng)，即時(shí)，；

　　當(dāng)，即時(shí)，．

　　故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

　　于是在的最大值為．

　　(Ⅱ)設(shè)，

　　則．

　　故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

　　于是函數(shù)在上的最小值是．

　　故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，．

　　點(diǎn)晴：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x2+4ax+1，g（x）=6a2lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），證明：若a≥
3
-1，則對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2有
h(x2)-h(x1)
x2-x1
＞8．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=
12
x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0，設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求證：f（x）≥g（x）（x＞0）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足①若x＞1，則f（x）＜0；②f(
12
)=1；③對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），則不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)f(x)=
1
1-x
+
2
x2-1
(0＜x＜1)
x+a   (x≥1)
，則實(shí)數(shù)a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）=
3x22
+ax，g（x）=4a2lnx+b，其中a＞0，設(shè)兩曲線x=f（x）與f=g（x）有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同．
（I）若a=1，求兩曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）用a表示b，并求b的最大值．

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