Question

點(diǎn)M（1，1）位于橢圓

x2

4

+

y2

2

=1內(nèi)，過點(diǎn)M的直線與橢圓交于兩點(diǎn)A、B，且M點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程及
|AB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程可得：

x 2 1

4

+

y 2 1

2

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

2

=1，兩式相減可得：

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0，又x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，

y1-y2

x1-x2

=k，即可解出k，可得直線AB的方程，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可得出．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程可得：

x 2 1

4

+

y 2 1

2

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

2

=1，
兩式相減可得：

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0，
又x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，

y1-y2

x1-x2

=k，
∴

2

4

+

2k

2

=0，解得k=-

1

2

．
∴直線AB的方程為：y-1=-

1

2

(x-1)，化為x+2y-3=0．
聯(lián)立

x+2y-3=0 x2+2y2=4

，化為3x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=

1

3

．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 ×(22-4× 1 3 )

=

30

3

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為把直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、“點(diǎn)差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．