Question

15．已知函數(shù)f（x）=|cosx|•sinx，給出下列四個(gè)說法：
①f（x）為奇函數(shù)；                    ②f（x）的一條對(duì)稱軸為x=$\frac{π}{2}$；
③f（x）的最小正周期為π；             ④f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞增；
⑤f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{2}$，0）成中心對(duì)稱．
其中正確說法的序號(hào)是①②④．

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷①；根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f（π-x）后，得到與f（x）的關(guān)系可判斷②；根據(jù)函數(shù)周期性的定義判斷③；由二倍角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷④；根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f（-π-x）后，得到與-f（x）的關(guān)系可判斷⑤．

解答 解：函數(shù)f（x）=|cosx|•sinx=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}sin2x，-\frac{π}{2}+2kπ≤x≤\frac{π}{2}+2kπ}\\{-\frac{1}{2}sin2x，\frac{π}{2}+2kπ＜x≤\frac{3π}{2}+2kπ}\end{array}\right.$（k∈Z），
①、f（-x）=|cos（-x）|•sin（-x）=-|cosx|•sinx=-f（x），
則f（x）是奇函數(shù)，①正確；
②、∵f（π-x）=|cos（π-x）|•sin（π-x）=|-cosx|•sinx=f（x），
∴f（x）的一條對(duì)稱軸為x=$\frac{π}{2}$，②正確；
③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|•sin（π+x）=|-cosx|•（-sinx）=-f（x）≠f（x），
∴f（x）的最小正周期不是π，③不正確；
④、∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴f（x）=|cosx|•sinx=$\frac{1}{2}$sin2x，且2x∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞增，④正確；
⑤、∵f（-π-x）=|cos（-π-x）|•sin（-π-x）=|-cosx|•sinx=f（x）≠-f（x），
∴f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{2}$，0）成中心對(duì)稱，⑤不正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假性判斷，以及三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．