Question

P是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上位于X軸上方的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓兩焦點(diǎn)，三角形PF₁F₂內(nèi)切圓半徑為

3

2

，則P的縱坐標(biāo)為（　�。�

• A．2
• B．4
• C．2

  6

• D．

  5 5

  2

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程求得焦距|F₁F₂|=6，由橢圓的定義得|PF₁|+|PF₂|=10．利用內(nèi)切圓的性質(zhì)把△PF₁F₂分割成3個(gè)三角形，根據(jù)三角形的面積公式算出△PF₁F₂的面積等于12，再利用面積相等建立關(guān)系式，即可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

解答：解：橢圓

x2

25

+

y2

16

=1中，a=5，b=4，
∴c=

a2-b2

=3，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）．
根據(jù)橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=10，|F₁F₂|=6，
設(shè)△PF₁F₂的圓心為I，
∵△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為

3

2

，
∴S△PF1F2=S△PIF1+S△PIF2+S△IF1F2
=

1

2

|PF₁|r+|PF₂|r+|F₁F₂|r=

1

2

（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）×

3

2

=

1

2

（10+6）×

3

2

=12，
又∵設(shè)P的縱坐標(biāo)為y_P，可得S△PF1F2=

1

2

|F₁F₂|•y_P=4y_P，
∴3y_p=12，解得y_p=4，即P的縱坐標(biāo)為4．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓的半徑長，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)和三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的定義與性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)知識(shí)．