Question

【題目】如圖1，在平面四邊形中，，現(xiàn)將沿四邊形的對(duì)角線折起，使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，如圖2，這時(shí)平面平面.

（1）求直線與平面所成角的正切值；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

解法一：（幾何方法）

（1）過向做垂線，垂足為，連接，通過線面垂直的證明得到在平面內(nèi)射影為，再根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系計(jì)算出的值即為直線與平面所成角的正切值；

（2）利用中點(diǎn)，過點(diǎn)做，垂足為，連接，通過證明得到二面角的平面角為，再計(jì)算出的值即為二面角的正切值；

解法二：（向量方法）

（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求解出平面的法向量并計(jì)算出線面角的正弦，由此可計(jì)算出線面角的正切值；

（2）計(jì)算出平面的法向量和平面的法向量，根據(jù)兩個(gè)向量的余弦值計(jì)算出二面角的余弦值，即可求解出二面角的正切值.

解法一：（1），，，

，為正三角形，

過點(diǎn)向做垂線，垂足為，連接，

平面平面，為交線，

平面，

為在平面內(nèi)射影，

就是直線與平面所成角，

在直角三角形中，，，，

，，

設(shè)為中點(diǎn)，連接，易知，

且為中點(diǎn)，

在直角三角形中，，，

，

又平面，且平面，

，

，

直線與平面所成角的正切值為.

（2）平面平面，為交線，且，

平面，

過點(diǎn)做，垂足為，連接，

，，

平面，

，

就是二面角的平面角，

在直角三角形中，，，

，

二面角的正切值為2.

解法二：

為正三角形，

設(shè)為中點(diǎn)，則，

在平面內(nèi)，過點(diǎn)作垂直于的直線.

平面平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

由平面幾何知識(shí)，易得，，，

（1）

又軸平面，

可取為平面的法向量.

設(shè)直線與平面所成的角為，

則

直線與平面所成的正切值為.

（2）設(shè)平面的法向量為.

，

，即，

令，得，

又平面的法向量為，

，

，

，

二面角的正切值為2.