Question

12．如圖所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，D₁是B₁C₁的中點，設平面A₁D₁B∩平面ABC=l₁，平面ADC₁∩平面A₁B₁C₁=l₂，
（1）求證：l₁∥l₂；
（2）若此三棱柱是各棱長都相等且側(cè)棱垂直于底面，求A₁B與AC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 連接DD₁．過B點作直線l₁'∥AD，證明l₁'即為l₁，可得l₁∥AD∥A₁D₁；過C₁作直線l₂'∥A₁D₁，證明l₂'即為l₂，l₂∥AD∥A₁D₁；即可得證l₁∥l₂．

解答 （1）證明：連接DD₁．在四邊形BDD₁B₁中，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$B₁C₁=B₁D₁，BD∥B₁D₁，
所以四邊形BDD₁B₁為平行四邊形，
所以DD₁=BB₁=AA₁①，且DD₁∥BB₁∥AA₁②；由①、②得：
四邊形ADD₁A₁為平行四邊形，
所以AD∥A₁D₁③；
過B點作直線l₁'∥AD，由③知l₁'∥A₁D₁，由于AD在面ABC中，
A₁D₁在面A₁B₁C₁中，
所以l₁'∥面ABC，l₁'∥A₁B₁C₁，由于B點同時在面ABC和面A₁B₁C₁中，
所以l₁'同時在面ABC和面A₁B₁C₁中，即l₁'為面ABC和面A₁B₁C₁的交線，
所以l₁'即為l₁，
所以l₁∥AD∥A₁D₁④；
過C₁作直線l₂'∥A₁D₁，同上可以證明l₂'即為l₂，l₂∥AD∥A₁D₁⑤；
由④、⑤即得l₁∥l₂．
（2）解：分別取AA₁，A₁C₁，AB的中點E，F(xiàn)，G，連EF，EG，F(xiàn)G
則∠GEF為所求角或其補角，令棱長為2，則GE=EF=$\sqrt{2}$，GF=$\sqrt{5}$，
由余弦定理得cos∠GEF=-$\frac{1}{4}$，故A₁B與AC₁所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題在三棱柱中證明面面平行，并且求A₁B與AC₁所成角的余弦值．著重考查了線面平行、面面平行的判定定理等知識，屬于中檔題．